2018年新疆维吾尔自治区培养单位603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
得
故
知
故
【答案】
由题意知
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
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对于矩阵
B ，
由
得
所以
得特征向量那么由
：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为
0.
（
Ⅲ）由 3
．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，
则写出其对角知
故
芄中
不
于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
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（Ⅲ
）当时
，此时A 有
二重特征值而
仅对应1
个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
4． 证明
n 阶矩阵与相似.
【答案】设
分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的
n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1重特征值
对于n-1重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与相似.
二、计算题