2018年新疆农业大学农学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1. 已知A 是3阶矩阵,
(Ⅰ)证明
:(Ⅱ
)设
【答案】
(Ⅰ)由同特征值的特征向量,
故
又令即由
线性无关,得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关;
(Ⅱ)因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量,若线性无关;
且
非零可知,
是A 的个
令
故 2.
已知
,求
【答案】
令
则且有
1
所以
3. 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
4. 设n 阶实对称矩阵A
满足
(Ⅰ)求二次型(Ⅱ
)证明[!
【答案】
(Ⅰ)设
由于
从而
的规范形;
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵,
并求行列式
为矩阵A 的特征值,
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵,所以必可对角化,
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为:1(k 个),-1(n-k 个).
故二次型
的规范形为
(Ⅱ)因
为
故所以矩阵B 的特征值是
:
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵,因此B 是正定矩阵,
且
二、计算题
5. 设3阶对称阵A
的特征值为
求A.
【答案】因A 对称,
必有正交阵依次取为
的单位化向量,即
使
显然
可
对应
的特征向量依次为
与正交,
于是
可取为方程的单位解向量.
由可知
于是
.
6. 在某国,每年有比例为p 的农村居民移居城镇,有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总
人数不变,
且上述人迁移的规律也不变. 把n
年后农村人和城镇人
占总人的比例依次记为
和
(1
)求关系式
中的矩阵A ;
求
(2)设目前农村人口与城镇人口相等
,【答案】(1)这是一个应用问题.
关系式可看做是向量
的递推关系式,从而有
即把应用问题归结为求A
的
遵循这一思路,先求A. 由题设,有
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