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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故 2．

已知

，求

【答案】

令

则且有

1

所以

3． 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

若

求行列

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

又

故

即

所以

即

而

故

4． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

且秩

的值.

即或

贝

因为A 是

是正定矩阵，

并求行列式

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

的规范形为

（Ⅱ）因

为

故所以矩阵B 的特征值是

：

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

二、计算题

5． 设3阶对称阵A

的特征值为

求A.

【答案】因A 对称，

必有正交阵依次取为

的单位化向量，即

使

显然

可

对应

的特征向量依次为

与正交，

于是

可取为方程的单位解向量.

由可知

于是

.

6． 在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总

人数不变，

且上述人迁移的规律也不变. 把n

年后农村人和城镇人

占总人的比例依次记为

和

（1

）求关系式

中的矩阵A ;

求

（2）设目前农村人口与城镇人口相等

，【答案】（1）这是一个应用问题.

关系式可看做是向量

的递推关系式，从而有

即把应用问题归结为求A

的

遵循这一思路，先求A. 由题设，有