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2018年新疆农业大学农学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研核心题库

  摘要

一、解答题

1. 已知A 是3阶矩阵,

(Ⅰ)证明

:(Ⅱ

)设

【答案】

(Ⅰ)由同特征值的特征向量,

又令即由

线性无关,得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关;

(Ⅱ)因为

,

所以

线性无关.

是3维非零列向量,若线性无关;

非零可知,

是A 的个

故 2.

已知

,求

【答案】

则且有

1

所以

3. 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

求行列

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

所以

4. 设n 阶实对称矩阵A

满足

(Ⅰ)求二次型(Ⅱ

)证明[!

【答案】

(Ⅰ)设

由于

从而

的规范形;

且秩

的值.

即或

因为A 是

是正定矩阵,

并求行列式

为矩阵A 的特征值,

对应的特征向量为

又因

故有

解得

实对称矩阵,所以必可对角化,

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为:1(k 个),-1(n-k 个).

故二次型

的规范形为

(Ⅱ)因

故所以矩阵B 的特征值是

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵,因此B 是正定矩阵,

二、计算题

5. 设3阶对称阵A

的特征值为

求A.

【答案】因A 对称,

必有正交阵依次取为

的单位化向量,即

使

显然

对应

的特征向量依次为

与正交,

于是

可取为方程的单位解向量.

由可知

于是

.

6. 在某国,每年有比例为p 的农村居民移居城镇,有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总

人数不变,

且上述人迁移的规律也不变. 把n

年后农村人和城镇人

占总人的比例依次记为

(1

)求关系式

中的矩阵A ;

(2)设目前农村人口与城镇人口相等

,【答案】(1)这是一个应用问题.

关系式可看做是向量

的递推关系式,从而有

即把应用问题归结为求A

遵循这一思路,先求A. 由题设,有