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一、证明题

1． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.

【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.

设

为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在

的子列

满足

则

从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，

知在

2． 设

【答案】因为

于是，

或

3． 证明:若L 为平面上封闭曲线，Z 为任意方向向量，则线方向.

【答案】令

的夹角，则有：

由于

为常数，且

分别表示外法线与x 轴正向，与外法线n 以及/与x 轴正向

则由格林公式

其中n 为曲线L 的外法

即

连续，

当从而

在

存在. 并且对

’

时，连续. 由

的任意性，知

或

所以

(

当

对) ，即

存在

使得

令上述

即当

是F 上的连续函数.

由

时

，

存在一个使

的

它必有聚点

证明

：

二、解答题

4． 设

【答案】因为

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求

所以由链式法则得到

最后以代入即可.

5． 已知平面上n 个点的坐标分别是

试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小. 【答案】设所求的点为由

得因为

所以 6．

【答案】

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它与各点距离平方和为

为S 的最小值点. 因此

为所求的点.

7． 求函数微性.

【答案】

在原点的偏导数，并考察的可

若而

当

肘，

从而

所以

在

不可微.

在

点可微，则+

且

8． 求下列函数在给定区间上的最大最小值：

【答案

】

故舍去.

-10, 在

处取最大值2。

由

即

知

于是，当

（3）

故函数在

9． 求极限

【答案】先求

为此令

取对数得

而

故

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由方

程得稳定

点由

于处取最小值

比较它们的大小知，函数在

（2）令

时，函数取最大值1。又因

由

得稳定点

又因

当

时，

最小值不存在。 当

时

，

处取最小值，最小值为故最大值不存在。