2017年郑州大学联合培养单位周口师范学院655数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． (1) 问
【答案】(1)
因为
从而
即
是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
(2) 不一定. 例如，函動
2． 设f 为定义在
就不是周期函数.
上的连续函数，a 是任一实数，
证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在
的某邻域
故E 为开集. 下证F 是闭集.
设且
是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而
上可导，且
则
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是否是周期函数？并画出它的图形(其中
所以
：表示的整数部分) ；
按
的定义，
即得
(2) 两个周期函数之和是否一定是周期函数？
因为f
在连续，从而由连续函数的保号性知，
使当
时
即
从而
使
故f 为闭集.
由
可见
3． 证明：若函数f , g 在区间
【答案】令
则在内有
于是，F (x ) 在
4． 设f 为傅里叶系数，证明
上严格递增，故当
上的光滑函数，且
时即
为f 的傅里叶级数
为f 的导函数的
【答案】因为f
为又
故
上的光滑函数，所以f (x ) 在上有连续的导函数
即
二、解答题
5． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，
【答案】(1) 解方程鉬由于在边
界
上
，
函数取最小值一4。
(2) 解方程组的稳
定点及其函数值有：
得
得
得
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得稳定点(0, 0) .
所以(0, 0) 不是极值点.
由
得稳定
点，同理，在边界
点
这
时
在
点上
，
函数取最大值4, 在
点考察边界上相应一元函数
比较各点的函数值知，在
点
得稳定点(0, 0) ，函数值
得
而边界
点(3) 解方程组
内部仅
为稳定点
的函数值都等于1，所以函数的最大值点
为
最大值为1，函数的最小值点为(0，0) ，最小值为0.
得而在边界取得最大值
在边界上取得最小值为0. 求
因此稳定点在
或
上，在区域
上函数
值均为零，所以函数在点 6． 设有
中点列
【答案】因为
所以
7． 讨论函数项级数
【答案】当取当
时，时，
级数收敛.
，不趋于0, 所以不一致收敛.
即
于是，对于任意的
8． 展开
在
存在
上的傅里叶级数.
另外
因此
在
上的傅里叶级数为
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在(0, 1) 和
的一致收敛性.
所以
当时，. 因此，级数一致收敛.
【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以