2018年信阳师范学院数学与信息科学学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.
【答案】一致连续性定理:若函数f 在闭区间上连续, 则f 在[a, b]上一致连续. 因为f 在[a, b]上连续, 所以任给
取
任意
, 存在. 则H
是
对任意
, 有
,
不妨设
,
即
.
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理, 从中可以选出有限个
开区间来覆盖[a, b].不妨设选出的这有限个开区间为
取当
时, 由于
.
对任意
因此
由一致连续定义, f 在[a, b]上一致连续.
2． 设
在点
存在,
在点
在点
连续, 证明f （x , y ）在点
其中
. 于是有
连续, 所以
当
故f （x , y ）在点 3． 证明:
对
一致收敛.
【答案】这个积分有无穷多个奇点, 所以需要将这个积分写成级数形式.
可微.
可微.
【答案】因为存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
, 从而
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
（令
对I 1而言, t=0为奇点. 由对I 2而言, 综上可知,
为奇点. 由
在[0, b]上一致收敛.
及及
）
（b < 1）的收敛性知, I
1在[0, b]上一致收敛. （6 < 1）的收敛性知, I2在[0, b]上一致收敛.
4． 设f （x , y ）及其一阶偏导数在（0, 1）附近存在、连续, 且证明:
在点
附近可确定一单值函数
, 并求
.
附近满足隐函数存在定理的条件
.
和在,
附近由方程
且
附近连续.
知, 初始条件满足.
.
, 又f （0, 1） =0,
【答案】令
下面验证F （x , t）在由的连续件可知
,
由而连续可微函数
, 满足
及f 的一阶偏导数在（0,
1）附近
于是,
由隐函数存在定理, 在=0可以确定唯一的
二、解答题
5． 设周期为
⑴（2）试问（1）
的可积函数
与满足以下关系式:
的傅里叶系数a n , b n 与
的傅里叶系数有什么关系？
【答案】
（2）
6．
（1
）求
（2
）求
（
3
）求【答案】（1）以任意相乘
, 记
则有
其中
即得
（2）对
展开的幂级数, 用阿贝尔引理得
（3）
在x=0点的幂级数展开式
;
的和; 的和
.
是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可