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一、证明题

1． 设f 是以

为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有

【答案】令

则

同理可证

2． 试用一致连续的定义证明:若f , g都在区间I 上一致连续, 则f+g也在I 上一致连续.

【答案】因为f , g在区间I 上一致连续, 所以对任给的使得当当有

故f+g在I 上一致连续.

3． 证明级数

【答案】因为对角线相乘可得

所以两级数的乘积为

与

绝对收敛, 且它们的乘积等于

故级数

绝对收敛, 同理

也绝对收敛, 按

时, 有时,

有

.

取

；

,

则当

时,

, 存在

,

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二、解答题

4．

设

试证:【答案】

其中

因为

.

, 代入①式, 得

在

5． 设

【答案】二元函数

与

求F （x ）.

存在

k>0, 使在矩形区域

在[﹣k , k]上可微,

且

6． 求下列均匀密度物体的质心

:（1

）的四面体.

【答案】（1）设物体质心为

, 由对称性知:

（2）设四面体的质心坐标为

, 由于物体密度均匀, 且

因此

在亦在

上一阶可微, 且

上单调递减.

在上单调递减,

单调递减.

上连续, x 与x 均为可微函数. 则函数

2

（

2）由坐标面及平面

x+2y—z=1所围

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7． 设

【答案】三方程分别对x 求偏导数, 得

求

解之得

同理,

三方程分别关于y

, z

求偏导数,

则可解得

8

．

计算

【答案】

解法一:

令

则

解法二:令

则

9． 已知函数

在[a, b]上有二阶导数并且

记

的图像曲线为C , 过C 上点

围成的平

引切线. 证明当t 变动时, 由该切线与曲线C 以及直线

面图形面积可取到最小值, 并求出此值.

【答案】由题意得, 切线与曲线C 以及直线

围成的平面图形面积为