2018年西华师范大学数学与信息学院708数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设（f x ）
满足
则f
在在
上恒等于0.
上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）
现再
由
为最
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
由费马定理
知
为f （x ）的一个严格极小值. 这与
.
使
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若
,
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在
上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,
因
得
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.
所以在
试证:（1）【答案】（1）令（2）将结论中换成x
:即
, 使
,
故
证M=m=0.假设
. 于
是
于是上
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且
; （2）对任意实数必存在
. 对F （x ）在
亦即
,
或
由此可见, 令
3． 试用定义证明:
（1）数列（2）数列敛于极限a.
（1
）取
,
则
,
当
不以1为极限. 因此, 数列,
时
,
于是,
数列
不以1为极限; 发散.
若在
之外数列, 对F （x ）在
上应用根的存在定理即可.
上应用罗尔定理即可.
【答案】定义:任给中的项至多只有有限个, 则称数列收
中有无穷多个项落在
, 则
之外. 由定义知, （2）当n 为偶数时
是无界的. 设a 是任意一个实数, 取
于是, 数列
收敛于任何一个数, 即数列
中有无穷多个项落在发散.
之外, 否则有界.
故数列不
二、解答题
4． 设f 在
（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故
5． （1）计算积分
（2）设z=f （x , y）在闭正方形
,
证明存在
, 使得
;
上连续, 且满足下列条件:
.
其中
为常数.
在任何有限区间内连续, 且
由
积分可得
,
上有任何阶导数, 记
, 且在任何有限区间内
,
,
试证
, 这里A 是（1）中的积分值.
【答案】（1）如图所示:
图
（2）证明:由所以
由积分中值定理知, 存在
, 使
故
,
知,
,
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6． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使
（1）
【答案】（1） f （
x ）在
（2）上连续, 又因为
所以f （x ）在x=0右连续. 故f （x ）在
内连续.
故
f （x ）在
（
2）
所以
时,
在x=0不可导. 则
所以
; 当
在P c （对应
）处的切线方程和法平面方程.
在
时,
内可导,
且
, 根据罗尔中值定理
, 存在一点
上不满足罗尔中值定理的条件. 当
, 所以
故
,
使
函数f （x ）在区间[―1, 1]内不存在
, 使
7．
求空间曲线
【答案】将
代人参数方程得
该曲线的切向量为
由此得切线方程为
法平面方程为
即
8． 设是开集.
【答案】（1）任取可微, 连续;
（2）对于
时, .
则由定理可知
使开集
由于
所以y 0
为内点, 故f （D ）为开集.
9． 求下列函数的麦克劳林级数展开式:
（1）（2）.
则f （D ）且满足, 在D 上
, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时
, 则
使
, 因为
是开集f :