2018年新疆大学数学与系统科学学院715数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:
（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是
（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则
2． 用确界原理证明有限覆盖定理.
【答案】对闭区间[a, b]的任一开覆盖H , 构造数集S 如上, 显然S 有上界. 因为H 覆盖闭区间[a, b], 所以存在一个开区间区间覆盖, 从而
若
, 则,
使得
, 取
使得
, 取
, 使得
加进去可知
, 则[a, x]能被H 中有限个开
, 即S 非空. 由确界原理知, 存在
, 由H 覆盖[a, b]知, 存在,
且
, 这与
3．
设级数
矛盾.
故
.
, 即[a, b]可被H 中的有限个开区间覆盖. 都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
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对右边第一个积分作代换x=—t , 则得
,
故, 故
,
则能被H 中有限个开区间覆盖,
把
用类似的方法可以证明
与级数\
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
由柯西准则知
4． 设f （x
）在
【答案】令由于
发散. 上可微, 且
, 则
, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即
证明:在
上f （x ）=0. .
上的单调递减函数, 所以
.
二、解答题
5． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使
（1）
【答案】（1） f （x ）在
（2
）上连续, 又因为
所以f （x ）在x=0右连续. 故
f （x ）在
内连续
.
故f （
x ）
在（2）所以
时,
在x=0不可导. 则
所以
; 当 在
时,
内可导
, 且
, 根据罗尔中值定理,
存在一点
上不满足罗尔中值定理的条件. 当
, 所以
故
,
使
函数f （x ）在区间[―1,
1]内不存在,
使
6． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式:
⑴（2）
（3）⑷
（周期）；
（周期1）; （周期）； （周期
）.
【答案】
（1
）f （x ）是周期为的周期函数如图1所示.
图1
因f （x ）按段光滑, 故可以展为傅里叶级数, 又f （x ）为偶函数, 故
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所以由收敛定理
,
时
（2）f （x ）是周期为1
的周期函数
如图2
所示.
图2
显见f （x ）是按段光滑的, 故可展开成傅里叶级数,
由收敛定理,
当
时,
当
时, 上式右端收敛到
又f （x ）为按段光滑的, 故可展开成傅里叶级数,
（3）f （x ）是以为周期的函数
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