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一、选择题

1． 设

又

②

③

与

为空间的两组基, 且

①

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

将①代入④得

由②有

④

即 2． 设A 为常数，则

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.

（否则与

是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组

有解矛盾），所以

矩阵，

是非齐次线性方程组

的通解为（ ）.

故.

的3个线性无关的解，

为任意

的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.

从而

是

的一个

考虑到是. 的一个特解，所以选C.

3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

且

所以

4． 设

则3条直线

（其中）交于一点的充要条件是（ ）

A. 线性相关 B. 线性无关

C. 秩

D.

线性相关，

线性无关

【答案】D 【解析】令则方程组①可改写为

其中

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

秩

则分块矩阵

①

②

由秩. ，可知线性无关，由秩可知1线性相关，即可由线性表出，

从而可由线性表出.

5． 齐次线性方程组

线性相关，故选D.

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

二、分析计算题

6． 设

为数域K 上n 元行空间, 证明:

①存在子空间, 其每个非零向量的分量都不是0;

②若子空间W 的每个非零向量的分量都不是0, 则W 必是1维. 【答案】①例如, 取②在W 中任取由线性表示; 若即

, 则W 中却有向量

这与对W 的假设不合, 故必可由线性表示; 是W 的一基, W 是1维子空间. 7． 设

是欧氏空间V 的某

的度量阵为

（1）求W 的标准正交基. （2）求一组基.

, 则显然其中每个

.

则对任意

就是这样的子空间.

当然可

且不能由线性表示, 则

与的对应分量不成比例, 例如, 设

的维数和一组基.

与

线性无关,

所以

为W 的

【答案】（1）因为