当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 3． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

第 2 页，共 44 页

为空间的两组基，且

由②有

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当时，f 为正定二次型.

方法3 设

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

方法4令

所以f 为正定的. 4． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

5． 设A 是

矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解

B. 如果秩

则

有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则

有惟一解

第 3 页，共 44 页

D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

秩

未知量个数，

只有零解

有零解.

二、分析计算题

6． 设V 为数域F 上的n 维线性空间，

明：W 为V 的子空间的充分必要条件是存在某个

【答案】充分性是显然的，下证必要性. 若

这

与

7． 已知矩阵A

的伴随矩阵

【答案】由已知得AB=B+3A，所以

两边左乘A*得

由于所以

是V 的S 个子空间，

使得

使

得

都是W 的真子空间，由有限不覆盖定理，

矛盾，故存在某

个

证

又因为

由式（2）可得

8． 设X 、Y 是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则

【答案】（1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

第 4 页，共 44 页