2017年江苏大学理学院853高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
，
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
线性无关，
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
4． 设线性方程组
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
.
则
也不是线性变换，
比如给
【答案】（C ） 【解析】设
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设
其牛
为两个非零多项式且或
次，但
证明：存在多项式
. 而且这种表示法唯一.
若
次，则结论已对；若
再用
设
，得 将（3）代入（2）
使
，设
【答案】先用g （x ）去除f （x ）
若
，次，可再用g 去除q （ ）. 如此下去，由于f （:真：）
其中
或
次，
由于
且 由（5）又得
同理可得
7． 设向量组线性表示。
【答案】用反证法，若则
[否则若
可以由则由①知
线性表示，即
线性相关，矛盾].由①可解得
再由类似可证
[否则
线性相关，存在不全为零的秩
线性相关，这与
使
线性无关矛盾].由③解得
但线性表示.
8． 设n 阶方阵A 满足
【答案】因为
证明：
可逆.
的因式，从而无重根（可对角化）且其特征根
故A 的最小多项式是
线性无关，表示法惟一，由②，④可得
矛盾，即证
不能由
. 如此下去，必m=n且线性无关，向量组
线性相关，试证：
不能由
或为零，
或次数
次数，故上式左端括号内的多项式必等于零，
从而必
，并移项，可得
（1）减（4）
的次数逐次
降低，从而可得（1）. 设另有
只能是1，-1或0. 因此存在可逆方阵P 使
由此得
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