2017年江苏大学理学院602线性代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【解析】比如在
中选三个向量组
若选
从而否定A ,
若选从而否定C ,
故选B.
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
，
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
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【答案】B 【解析】
但当a=l时，
二、分析计算题
6． 证明酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.
【答案】设
的过渡矩阵是
及
即
因为
是标准正交基，所以
因此
由此得
即A 是一个酉矩阵.
7． 用
表示i 行j 列的元素为1，而其余元素全为零的
那么当那么当及
时时
当当
时时
且矩阵，
证明：
是酉空间V 的两组标准正交基. 由
到
（1）如果（2）如果【答案】（1）计算
（3）如果A 与所有的n 级矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即A=aE.
由得
（2）计算
及
及且证得所要的结论
.
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