2017年哈尔滨工程大学概率论(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，
你认为他是否有诀窍？（取
）.
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为
检验的p 值近似为
因此应拒绝原假设，看来此人猜硬币有某种诀窍.
2． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
3． 试问下列命题是否成立？
（1）（2）（3）（4）
（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：
（3）不成立是因为由（3）的左端可得
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域
为
. 利用棣莫-拉普拉斯中心
【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得
来简化事件.
.
（4）不成立的理由是
4． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定
而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ），其中
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
5． 设总体无偏估计.
【答案】由于总体
这给出
于是
若要使
为
的无偏估计，即
6． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：
己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.
【答案】
原假设
检验的P 值为
p 值小于0.05，所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.
备择假设
作差
得到检验统计量值为这给出
是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 便
为
的
7． 在用光电比色计检验尿汞时，对给定的尿汞含量x （mg/L），消光系数y 服从正态分布，且方差与x 无关，观测得如下数据：
表
试用两个标准分别建立一元回归方程. 【答案】由这组数据可计算得到
（1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两个标准下的结果，可见
8． 设曲线函数形式为
【答案】令
玄是因为其相关系数r=0.99966，很接近1.
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 原函数化为V=a+bu.
二、证明题
9． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
10．设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为