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一、证明题

1． 设a ，b ，A 是均不为零的有限数，证明

【答案】因为当由所以且

再证充分性. 因为故因此有

所以

2． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列

【答案】令M=l，存在且

如果已找到

令

则存在

使得

即

由

使得

再令

使得

则存在

使的

即

时

故

(当

时) ，

先证必要性.

的充分必要条件是：

归纳原理知，存在一递増数列使得

3． 若在上连续可微，则存在上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得

【答案】因为

在上连续可微，所以

在上连续. 令

因此

，

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与

取

在并且

上连续，从而是可积的

且是増函数，

是减函数。

所

以

二、解答题

4． 计算下列定积分：

【答案】（1）

（2）令

则

则

（3）令

则

则

令

则

则

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（10）令

（11

）令

则

从而有

5． 求曲线

【答案】

令

得

在点

当

.

时，处曲率最大。

当

时，

所以

在

上曲率最大的点。 则

，从而

时取最大值. 故

6． 设

试讨论它在(0，0) 点处的连续性. 【答案】设

则

所以

当故当

即

1

时

因此

在点(0, 0) 处连续.

时

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