2017年湖南大学经济与贸易学院610数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
求证
【答案】不妨设
注意到
则有
2． 证明：若函数
在区间
内二阶可导，且对
有则对
有
【答案】令
将
与
在
点作泰勒展开，有
是，对任给的
有
3． 证明：(1) 两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；
(2) 两个偶函数之和与积都为偶函数； (3) 奇函数与偶函数之积为奇函数.
【答案】(1) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个奇函数，令
则
所以f (x ) +g(x ) 是D 上的奇函数，f (x ) g (x ) 是D 上的偶函数. (2) 设f (x ) 与g (x ) 是D 上的两个偶函数，
则
所以f (X ) +g(X ) 和f (X ) g (X ) 都为偶函数.
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于
(3) 设f (x ) 为D 上的奇函数，g (x ) 为D 上的偶函数，
所以f (x ) g (x ) 为奇函数.
则
二、解答题
4． 求级数
【答案】方法一 令
由逐项积分定理得
令
则由(1) 式得
从而即得
于是
容易证明
. 收敛，再根据阿贝尔引理得
方法二 先对原级数进行如下分解:
又由逐项积分定理，
有
再由阿贝尔引理得
联合(2) ，(3) 式得
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的和.
，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，
且
5． 设V （t ）是曲线
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
6． 试将
【答案】设又
又因为
按
所以C=l. 的幂展开成幂级数. 则
故
所以
由
即
可得
所以
7． 试求
在
上的傅里叶级数，并求级的延拓，则
故由收敛定理，对
当
时，其傅里叶级数收敛于
令
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. 在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积，试求常数c ，
使
的和.
【答案】将f (x ) 作周期为
即有