2017年湖南大学数学与计量经济学院610数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：
【答案】减，且当
有时有
所以当
在内连续. 证明因此
3． 证明:若函数f 在区间上处处连续，且为一一映射，则f 在上严格单调.
【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然，
则至少存在三个点
满足
但而
上应用介值定理，则存在
和
而
由
于f 是一一映射，所以上述不等式为严格的，即
注意到f 在上连续，对f 分别在区间和
使得
再证明f 在上是严格单调的.
不妨设f 在上是单调递增的，则对任意的，故必有
有
注意到在上是一一对应
这表明f 在上是严格单调的.
上恒正或恒负. 即
的
时在
在
内连续.
，
关于x 在上一致收敛于0.
内闭一内单调递
由狄利克雷判别法知，
致收敛，又被积函数连续，于是F (y ) 在
2． 设的最大零点为符号一致. 又因为
所以
上一致收敛，即F (y ) 在
【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在
这与f 是一一映射相矛盾，所以f 是单调的.
二、解答题
4． 求函数
【答案】首先有
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在内的极值.
令得稳定点又
从而
因为
故
为负定矩阵，所以f 在内点
处取得极大值1.
5． 求下列极限（其中n 皆为正整数）
.
.
【答案】
（4）由公式
（5）由迫敛性知得
可知，当
故
时，有
当
时，有
根据
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6． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3) (4) :
其中
其中D 由抛物线
其中
，其中D 为图1中阴影部分；
与直线
所围成的区域；
【答案】(1) D 如图
1
图1
(2) (3) D 如图
2
图 2
(4) D 如图
3
图 3
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