2017年大连海事大学数学系835高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）. A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 记 A. 则（ ）. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知，有 于是 4． 设 又 为空间的两组基，且 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 由②有 则A 与B （ ）. 使 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 按定义计算行列式： （1 ） （2） （3） 【答案】（1）原行列式（2）（3） 7． V 是 . 按矩阵加法与数乘矩阵构成的实数域R 上的线性空间，证明其维数为 表示线 元为1，而其余元素全为零的nxn 矩阵 有 ， 显然 【答案】 用 性无关，并且任绐 按定义有 ，且构成V 的基.
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