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一、证明题

1． 设函数，的周期为2π，且

【答案】傅里叶系数

由于f (x ) 在

上连续，由收敛定理知对

有

在端点x=0和

处，其傅里叶级数收敛于

令

有

2． 证明下列结论：

(1)

设(2)

设

在(3) 设f (x )

在f (x )

在

故(2) 易知

在点x=0连续，且

对上连续；

在

上连续； 在点上连续.

取

得又

在点

连续，从而

因为

在于是对

令同理由

在

得

即

令

得

在

有

即在

上连续.

从而

处连续，由(1) 的结论知

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试利用，的傅里叶展开计算的和数.

满

足

满足满足.

对

当

则

在则

则时，由

上单调，

且对

连续，

且对

【答案】(1) 由

处连续，所以

上连续. 上单调，

所以

都存在，设

(3)

由即

对

利用(1) 的结论知

3． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列

在

定号，从而可知

得

对

两边取对数得

因为

都成立.

所以于是

且由已知得

在

上连续.

对

与在

同号，

处连续，

上连续，从而条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

收敛. 因为

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛.

二、解答题

4． 设

【答案】作分割使得

其中介于设变化，两边取

上确界得到

由此推出

令限得

因此

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求证：

设

。则根据微分中值定理

，

与之间. 因为可积函数一定有界，所以可设与

在

上的振幅，在公式（2）中，让

于是由（1）式得

在

上

分别表示

因为所以由此，令对（3）式取极

5． 计算

【答案】令

其中 则

所以

6． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：

(1) (2

)

线，其方向按曲线依次经过

【答案】(1) 曲线的参数方程为

依次经过1，2, 7, 8卦限，于是

(2) 记球面图所示，则

与xy 平面的交线为

与yz 平面的交线为

与zx 平面的交线为

如

其中L 为

与

相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L

为球面

平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.

当从0增加到

时，

点卦限；

在第一卦限部分的边界曲

图

其中

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