2017年青岛大学师范学院880数学基础综合[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 本题的最终目的是要证明：若在
(1) 若T 是(2) 存在区间
(3) 存在区间
的一个分割，使得
使得使得
使得
说明
为一区间套，从而存在
上处处稠密。 可积，所以对于
存在的振幅
矛盾. 现取
以
足
依次做下去，得一区间套
故由闭区间套定理，存在下证
为现在，任给
的一个连续点：任给故当
有
时
，
在存在
使
令
上也可积，从而由上面已证的结果，
则
且
代替
对于
同样存在
及属于的某一小区间的子区间
满
满足
的分割
由此易知：在致
的某个小区间
这与式
如若不然，将导
使
在
而且，在点连续。
上可积，则在
内必定有无限多个处处稠密的连
使
续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：
则在T 中存在某个小区间
(4) 继续以上方法，求出一区间序列
(5) 上面求得的的连续点在【答案】因为
在内连续，故
2． 设
求证：【答案】
在
由
的连续点在且
内处处稠密。
上一致连续.
推知
使得当
时，有
又由
推知使得当时，有
所以
在
上一致连续，
于是
另一方面，
因为函数
使得
这样，当
①若②若③若或
(一 3． 设
. 由⑴式得，由(2) 式得，
则有
上一致连续.
为递减正项数列，证明：级数
的部分和为
与
且
时
由(3) 式知根据定义，即得在
同时收敛或同时发散. 的部分和为
因为
为递减的正项数列，
【答案】设级数故
级数
故若又有
收敛，则也收敛；若发散，则也发散.
故若同.
收敛，则
也收敛；若
发散，则
也发散. 由上可知两级数的敛散性相
二、解答题
4． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此
D 的面积为
为D 内任一点，证明
考虑
则
所以
由于
，因此
。所以
同理可证
5． 计算
【答案】补充平面
其中S 为曲面
被平面
方向向上. 有
而从而，
6． 证明下列结论：
（1）
设
则
在
在
上可积；
在[0, 1]上可积。
，得到
所截部分的外侧.
•
上有定义，
且. 存
在上的可积函
数使
得
（2）函数
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