2017年青岛理工大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明
:
【答案】
故
2． 设
为正数
证明：方程
在区间
与
内各有一个根.
f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于
由根的存在性定理，必存在令
则
即
在
内各有一个根.
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【答案】(1) 证法一：设辅助函数
故有
使得
(2) 证法二：
令
且
使得
因
为
由连续函数根的存在定理知，
存在
在
所以存
在
使
内也有一个根. 若
即
若
则
这与题
设
得
. 故方程
在内有一个根. 同理可证，方程. 3． 设f 是定义在R 上的函数，且对任何都有证明对任何
都有
于是或
者
矛盾. 所以
对任意
得
或
者
有
【答案】
由
二、解答题
4． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使.
【答案】（1）f （X ）在
上连续，又因为
所以
在x=0右连续. 故f （x ）在
内连续
.
故f （x ）在（2）所以
时
，
函数f （x
）在区间
5． 设f (x , y , z ) 在
则⑴记
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内可导，且根据罗尔中值定理，存在一点
使
在x=0不可导.
则
内不存在
使.
在
时
上不满足罗尔中值定理的条件.
当
所以
故
上连续. 令
在[a，b]上连续.
【答案】分成两步来证.
因
为在有界闭区域上连续，所以一致连续. 于
是
时，有
当
对z 在[a, b]上取最小值得
由此知，(2) 令由
在
在
其中
上连续. 则
上连续知
，
在与
上连续.
进而求出不定积分
与
在
上连
续，用与(1) 中相同的方法可证明
6．
试求不定积分
【答案】
其中
为任意常数
. 可得
可得
7． 计算近似值：
【答案】(1) 设
根据
，知
(2) 设
则
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