2017年宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 【答案】B 【解析】 3． 设是3维向量空 间的过渡矩阵为（ ） . 的一组基, 则由 基到基 【答案】（A ） 4． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 所以A 的特征值为3，3，0；而 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 5． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果B. 如果秩 则则 . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 有零解. 则A 与B （ ）. C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 6． 证明 秩 未知量个数， 二、分析计算题 合同，其中【答案】方法1用 的一个排列. 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素为0的n 级 是 矩阵. 令 则C 可逆，且 所以这两个矩阵是合同的. 方法2作n 元二次型 则 的矩阵为 作可逆线性替换： 则其矩阵为 化为 所以这两个矩阵合同. 7． 计算n 阶行列式 其中x=yz 【答案】按第一行展开得
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