2017年南通大学理学院802高等代数之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则A 与B （ ）.
使
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则也不是线性变换，
比如给
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
则
所以
的解，则（ ）。
二、分析计算题
6． 证明
：
存在左逆阵（右逆阵）的充要条件是A 的列（行）满秩，且在A 存在左逆阵时，
A 左（右）逆阵唯一的充要条件是A 的行（列）也满秩，即A 可逆.
【答案】以左逆阵为例. （1
）
证法1 A 的列满秩，
则则BA=E.故A 存在左逆阵.
证法2 A 列满秩，则存在m 阶可逆阵P ，使
存在左逆矩阵
所以r （A ）=k，即A 列满秩. （2）唯一性
已知r （A ）=n，所以又A 存在左逆阵时有
故后=n，即A 为n 阶可逆阵. 即
则
则有BA=E。
.
的列数，所
以
非奇异.
取
所以A 的左逆（即逆矩阵）唯一
.
设A 左逆唯一，由（1）得A 列满秩， 所以
若k