2017年南通大学理学院802高等代数之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 5． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由②有
为空间的两组基，且
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
二、分析计算题
6． 设
求方阵P ，使【答案】因为
，1的几何重数为所以A 的特征值是1 （3重）
设故即
取其基础解系
解线性方程组
得
解线性方程组令
则
注这里取特解
，我们也可以取别的特解（更可靠的办法是取通解）
得
取特解取特解
使
于是
解齐次线性方程
组
得
故A 的若当标准形是
为A 的若当标准形.
的目的是解方程组使之有解，从而可以得到
7． 设为实数域R 上n 元列空间，A 为n 阶实对称方阵. 问：
是否作成的子空间？维数为何？
【答案】
①诺A 为半正定，则存在实方阵B 使但由为实矩阵，故必有
从而又有
下先证
显然；又任取
则
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