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一、证明题

1． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知, 理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

2． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即

场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

3． 设（）为n 维随机变量, 其协方差矩阵在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数

【答案】由于使得

另一方面,

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存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

也是常数, 故有

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

存在. 证明:若

使得

则以概率1

意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量

,

方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得

4． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且

记

（2）设其中

以下对n 用归纳法：

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有

则

代入可得

由归纳法知结论成立.

5． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

6． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

7． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算

【答案】

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又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

利用此结果计

由此得

8． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

否则均值不存在）, 当r=2

二、计算题

9． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

，这样【答案】不能. 此处a 是未知参数，我们不能采用如上题所用的方法，即取v=ln（y-a ）的变换是行不通的，因为这样变换后的v 无法观测.

10．以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 【答案】此样本容量为10, 经排序可得有序样本:

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问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给