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一、证明题

1． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

2． 设函数

(1) 当n 为正整数，且(2)

所以

又因为

是以为周期的函数，所以

所以当(2) 由(1) 知，当

时，有

时，有

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，时，证明:

【答案】(1) 因为

令可得

3． 证明下列命题：

(1) 若

在

上连续増，

则(2) 若

为在

上的增函数。

上连续，且

则

为

【答案】(1) 由

在

上连续及洛必达法则，得

因此F (x ) 在

点右连续，从而

在

上连续，又当

时，

根据积分中值定理，存在

使

所以

由故

在为

上单调增，得上的増函数。

因此

在

内可微，且

由而

知，函数

故

为

在

上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因

所以补充在

上严格增。

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上的严格增函数，

如果要使

在上为严格増，

试问应补充定义

从而当

时，

(2) 由题设，可得

从

使函数

成为上的连续函数，再由可得

4． 证明：若数列收敛于a ，则级数

【答案】级数的前n 项和

.

而

所以

即

二、解答题

5． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：

【答案】⑴

因此，

所以，

6． 将函数

【答案】记

因为

展开为傅氏级数. 是奇函数，所以

且

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