2017年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设
具有性质
【答案】(1) 由
得
即(2)
令令
2． 设
则有
在点
存在，在点
于是有
令
时有
故f (x ，y )
在点
3． 设
(1
) (2) 若
【答案】(1) 因为
证明：
则
所以
又因为(2) 因
为
于是
第 2 页，共 26 页
证明：
对
两边关于求偏导数得
在点连续，证明f (x ，y ) 在点
可微.
【答案】因为其中
存在，由一元函数的可微性知
因
为
从而可微.
在
点即
连续，所以
当
所以
所以对
于
即
存在N ，使得当n>N时
，
因为 4． 应用
(1
) (2
)
【答案】(1) 证法一：由于所以
另外
所以
证法二：
(2)
由
在任何
上
一致收敛，所以
另外
所以
5． 设f 为
上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在
上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦
在任何
上
一致收敛，
证明：
所以
尔(Parseval ) 等式：
这里
为f 的傅里叶系数.
第 3 页，共 26 页
【答案】设
因为f (x ) 的傅里叶级数在上一致收敛于f ，所以，任给
时，
存在N , 当时，有
故对上述的当
所以从而，由式
可得
6． 试证明
【答案】数集
因为对于任意一个正数M ,
令
有上界而无下界. 对任意的
而
故3是数集S 的一个上界.S 无下界，
二、求解下列各题
7． 求
【答案】由于
之和.
所以考虑幂级数
当
时，逐项积分有
求导得
于是有
8． 设
考察函数，在原点(0, 0) 的偏导数. 【答案】由于
不存在，
第 4 页，共 26 页