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一、分析计算题

1

．

设

为

n 维

列

向如果

【答案】因为

量

，求

n 阶

方

阵

而所以

2． 设f （x ）为实系数多项式，证明：

①若有实系数多项式则必

②若f （x ）的首系数【答案】①若设

则

比较（3）式两端次数即知矛盾，故必f （x ） =0, 从而

若②设

则必

再比较次数知矛盾，故必g （x ）, h （x ）均为零.

若n=0, 则结论显然. 下设

为其全部根，且令

则必

其中

为实系数多项式，于是

其中

为实系数多项式.

是f （x ）的根，则

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使

且无实根，则存在实系数多项式g （x ）, h（x ）使

则

，h （x ）中至少有一个不是零，例如，的次数为偶数且g （x ）

由于f （x ）无实根，虚根成对出现，故可设

3． 设f （x ）是次数大于零的整系数多项式，若

【答案】

也是的根.

设

其中

去除的余式. 由带佘除法定理，可设

而的根，即

所以

即有

可见的根.

4． （1）设

且求

（2）求正变阵T , 使T 下合同于对角阵.

令

问

是什么曲面？ 【答案】⑴令则

再用

除

（带余除法）得

由哈密尔顿-凯莱定理及①式有

再求即得

（2）计算可得所以

当时，得线性无关特征向量

当

时，得特征向量

由于它们已经正交，只需将其单位化可得

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所得到

再则T 为正交阵，且

再作正交变称它表示单叶双曲面.

5． 设

的一子空间记作C （A ）;

其中

则由

有

（1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成（2）当A=E时，求C （A ）; （3）当

时，求C （A ）的维数和一组基. 【答案】（1）显然C （A ）非空，又是（2）（3）设

中任一矩阵都与E 交换，故

满足BA=AB, 即

则

i , j=l, 2, …，n. 故当

时有

即B 是对角阵. 反之，对角阵也属于C （A ）. 这就其维数为n.

证明：V 的r 维子空间有无穷多个，其中

线性无关. 事实上，若

则由次证

线性无关，则有无穷多个，只要答:若

则

故

不然，则

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中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空间.

证明了C （A ）是中全体对角阵所成的子空间.

C （A ）的一组基可取

6． 设V 是n 维线性空间

【答案】设先证

只要证

是V 的基，令

线性无关.

设