2017年曲阜师范大学自动化研究所850高等代数A考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求齐次线性方程组
的解空间（作为欧氏空间
的子空间）的一标准正交基.
【答案】易知方程组系数矩阵的秩是2, 从而有三个自由未知量，解空间是三维的.
取
作为自由未知量，可得一基础解系（即解空间的一基）
：
将
此基正交化，可得解空间正交基：
再标准化，可得解空间一标准正交基：
2 多项式．（2）
称为多项式
，的一个最小公倍式如果（1）
的倍式. 我们以的首项系数都是1, 那么
【答案】因为
所以如果于是
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的任一个公倍式都是，表示首项系数是1
的那个最小公倍式. 证明：如果
是
是
的公倍式.
的一个公倍式，那么
因为
所以
又因
的首项系数为1. 所以
姻首项系数也是1. 根据定义
3． 设V 是一个n 维欧氏空间，它的内积为
（1）证明
是V 上线性函数；
的映射：
是V 到
的一个同构映射. （在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）
【答案】（1）易证是V 上线性函数，
即（2）现在令映射为
下面逐步证明是线性空间的同构.
①是单射. 即证明当对故这样
于是
即有
因此
令
是V 的一组标准正交基，
令
则对所有
故对所有
有
即
是它们的对偶基，
对
②是满射.
取
时有
对V 中确定的向量
定义V 上一个函数
（2）证明V 到
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③是线性映射. 对
故又故
以上证明了
4． 证明：
是线性空间V
到
的同构.
存在左逆阵（右逆阵）的充要条件是A 的列（行）满秩，且在A 存在左逆阵时，
A 左（右）逆阵唯一的充要条件是A 的行（列）也满秩，即A 可逆.
【答案】以左逆阵为例. （1
）
证法1:A 的列满秩，
则则BA=E.故A 存在左逆阵.
证法2:A 列满秩，则存在m 阶可逆阵P ，使<
存在左逆矩阵
所以rA.=k, 即A 列满秩. （2）唯一性
又A 存在左逆阵时有
故k=n, 即A 为n 阶可逆阵.
所以A 的左逆（即逆矩阵）唯一
.
设A 左逆唯一，由（1）得A 列满秩， 所以
若k 即 则 则有 的列数，所 以 非奇异. 取 这里为n 阶单位矩阵E 的第i 列（i=l, 2, …，n ）, 因为 所以式（*）有解，且解不唯一，这样矩阵方程即 解不唯一（与A 的左逆阵唯一矛盾）. 所以k=n，即A 的行向量组也线性无关. 5． 设V 为n 维欧几里得空间i 为乂的正交变换，令 显然 是V 的予空间，证明： 第 4 页，共 43 页 解不唯一，