2017年曲阜师范大学数学科学学院850高等代数A考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． P 是数域
，
【答案】（1）
（2）由上一问题得
两边消去E 得AB=BA.
2． 如非零多项式
【答案】因
为
为
次多项式. 从而有
为一次多项式. 令
3． 证明：
多项式
【答案】设
则由
有完全相同的不可约因式，且首项系数相同，可知
证完.
两两互素的充要条件是，
存在多项式
两两互素. 下证（用数学归纳法）（19）成立.
成立，即存在
使
由于
两两互素，故
从而存在多项式
等式（20）与（21）两边相乘，得
令
E 是单位阵，且AB=A-B, 证明：
满足
所
以
证明f （x ）有n 重根，其中
是
与
的一个最大公因式，
故
使
当n=2时显然. 假定结论对
使
即得（19）.
反之，设（19）成立，则可得
由此可知
4． 设f （x ）是一个复系数多项式，证明：
是实系数多项式；
则f （x ）无实根，问：反之如何？
【答案】①设其中②由故项式.
③反证法. 若f （x ）有实根故
也是.
的根，这与
则由
得矛盾.
不一定互素. 例如，
就是一例. 5
．
设
为
n 维
列
向如果
【答案】因为
量
，求
n 阶
方
阵
但d （X ）次
次且首系数都是1，故
并令反之亦然.
即d （X ）是一实系数多
. 两边取共辄，并根据其轭复数性质得
即
两两互素.
是f （x ）的所有系数换成其共轭复数后所得到的多项式，
反之，若f （x ）无实根，则f （x ）与
而所以
6．
是n 维线性空间V 上的一个线性变换. （1）若（2）设
’在V 的某基下矩阵A 是多项式的最高次的不变因子是
则
的伴侣阵，则的最小多项式是
的最小多项式是
【答案】（1）因为A 是有
设
的伴侣阵，所以是A 的特征多项式，因此d （A ）=0, 即
则
其中
又单位矩阵可表成
都是矩阵.
因此
，
综上，d （x ）是（2）设用
表示
的最小多项式.
其中
是
的次数最高的不变因子.
的不变因子是
的伴侣矩阵，i=l，2，…，s 那么A 与下列矩阵相似
线性无关，对次数小于n
的多项式
都有
即