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一、分析计算题

1． 求多项式中

在实数范围内，当n 为奇数时：

其中

当n 为偶数时：

2． 若

是正定阵，诹

也是正定阵，且

在复数范围内和在实数范围内的因式分解.

其

【答案】利用n 次单位根的三角表示，可得在复数范围内：

【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而I1正定.

又即所以

合同汙

正定.

（2）

由所以

结合式（2）, 证完.

3． 设

①若对任意

为两个非零多项式. 证明： 由

必得

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从@

正定.

对式（1）两边取行列式得

正定，所以半正定.

则

②若对任意③

由对任意

都有相应的

必得

使

则

【答案】①若不然，设

则

但

与假设不合，故必

则有

也有（4）式，故

再求

从而有

其中

4． 证明：以下三个多项式为在此基下的坐标.

【答案】设于是又设

则得

这就是g （x ）在基 5． 设

【答案】（1）因为

即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，

所以

（2）由（1）知

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②若不然，同①所设，可知有

但③若

反之，若对任意h （x ）都有（4）式，则特别地，

的一基：代入并整理后得

因此， 由此得

T 的坐标.

线性无关，从而为基.

证明：

由哈密尔顿-凯莱定理知

以上各式相加得

6． 计算n 阶行列式

【答案】将按第n 列拆分得

对如上第一个行列式第2个行列式按第n 列展开得

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