2017年曲阜师范大学自动化研究所850高等代数A考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算n 阶行列式
【答案】
当时，有
当某个
时，有
各行都减第i 行，得
2． 设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m , 存在唯一的正定矩阵B , 使
【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T , 使
取
（2）唯一性. 如还有设取由于
即
结合式（1）知. 所以
又这样有因此
3． 设性无关，则交
即
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
维数=（5）的解空间维数. 维数为S ，
维数为t. 又因为
均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
，从而有正定（当然可逆）
故有
则
C 正定.
显有
且B 为正定矩阵.
由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向量
4． 证明：如果
【答案】因为于是
与互素，那么
互素，所以有多项式
也互素. 使得
因此
5． 已知
与也互素.
的线性变换在基
下的矩阵为
求在基
下的矩阵. 【答案】因为
记上式右端的4阶矩阵为P , 则在基下的矩阵是
6． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明：
且当n 为奇数时
当A 可逆时
且
也是反对称矩阵.
是根为0或纯虚数的实系数
其中为非零实数. 于是
【答案】①因为A 为实反对称矩阵，故特征多项式多项式，其虚根必成对出现. 现设其全部根为