2017年曲阜师范大学数学科学学院850高等代数A考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 构造一个3阶实对称阵A ，使其特征值为
【答案】设属于特征值-1的特征向量为个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
因为A 是实对称阵，所以必与已知两并且对应特征值1
有特征向量
令则
故
2． 把二次型
化为标准形，并求相应的线性变换和二次型的符号差. 【答案】
令
即作非退化线性变换
则所求标准形为
且f 的符号差=2-1=1.
3． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有重因
式. 因此，
的标准分解式是
4． 用向量运算证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点
.
考虑到
可知
的4
判断
是否有重因式，并求
的标准分解式.
图
【答案】设P 是PF 垂直于BC.
如图所示，已知
两条边AB 及AC 的两条垂直平分线的交点.F 是BC 的中点. 即要证明
故BC 垂直于FP.
5． 用J （A ）表示n 阶方阵A 的若尔当标准形. 证明：对任意复数A 均有
【答案】设为阶若尔当块且
则由此得
因此，
6． 设
试证
是线性空间V 的一组基，
是它的对偶基，
表出）.
是V 的一组基并求它的对偶基（用
【答案】可利用定理3. 计算
由于右端的矩阵的行列式.
则
I
故
是V 的一组基. 设
是
的对偶基，
即
7． 设E 为n 阶单位矩阵，a ，b 为给定的n 维列向量，并有
证明：
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