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一、选择题

1． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到 2． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C

=（ ）.

是

的一个特解，所以选C.

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

【解析】因为

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

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中选三个向量组

若选故选B.

4．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

从而否定A ,

若选从而否定C ,

则当（ ）时，此时二次型为正定二

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

所以f 为正定的.

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

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5． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时，

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.

【答案】设若

成比例，设

则可对f 施行以下满秩线性代换

的秩是1或f 的秩是2且符号

化成

若

由于

故因此，此时f 的秩是1.

不成比例，不妨设

与

不成比例，从而

则

此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换

得故此时f 的秩为2且符号差为0.

由于

的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.

反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY

化为正规形

若f 的秩为2且符号差为0，则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为

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