2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
目录
2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题（二）.... 7 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题（三）.. 11 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题（四）.. 14 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研强化五套模拟题（五）.. 19
第 1 页，共 22 页
一、证明题
1． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E 为闭集；若E 为闭集, 则E 为开集.
c c
【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于
c
c
E c 设这个聚点为A , 则必有
c
, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）
c
c
因此, U
（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.
c c c
（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个
点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与
2． 确定常数a , b , 使当
证明:
,
【答案】
于是
欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有
时
,
是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集.
为x 的3阶无穷小.
c
c
解之得
3． 已知反常积分
【答案】注意到
收敛, 证明含参变量反常积分在[0, 1]上一致收敛.
因为反常积分另外
对于固定的
收敛且与y 无关, 所以
都单调,
且在
第 2 页，共 22 页
在[0, 1]上关于y 一致收敛.
时,
满足
, 即一致有界. 从而由
阿贝尔判别法知, 在[0, 1]上一致收敛.
4． 应用詹森不等式证明:
（1）设
, 有
（2）设【答案】设由
可知
, 有则
为区间
,
上严格凸函数根据詹姆森不等式有
即
因而
, 把这个不等式中的n 个正数换成, 则得到
于是原不等式得证. （2）设a>0, b>0, p>1, g>1,
,
代入
得
于是
令
得
不等式两端同时乘以
, 再对k=l, 2, …, n 时的不等式两端分别相加, 得
, 由（1）知－lnx 为凸函数, 令
, 其中
二、解答题
第 3 页，共 22 页
5． 展开为上的傅里叶级数.
另外
【答案】因为f （x ）为偶函数，所以
因此
在上的傅里叶级数为
6． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）
（3）
（4）（5）
第 4 页，共 22 页
•