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一、证明题

1． 设

【答案】已知

, 且满足

.

即

证明

:

有下界. 又由

可推出若a=0, 则

,

即

单调递减. 由单调有界定理, 在不等式

存在, 记为a , 则

可知

矛盾.

的极限存在, 并求出其极限值.

两边, 令

由此可见a>0.再在不等式

中, 令

2． 证明:

于区间

（其中

由于

）一致连续, 但是于在

内连续,

从而在

内不一致连续。 内一致连续, 则在区

可得

, 即

, 解之得a=1.

【答案】（1

）由于间

内也一致连续。 （2）利用定义, 取

存在

取尽管有

但是

, 从而函数在区间内不一致连续。

二、解答题

3． 设

求证: （1）（2）

与

存在;

在（0, 0）点不连续;

（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出

令y=x,

故

在（0, 0）点不连续. 同理可知

在（0, 0）点不连续. （3）由于’

按微分定义, 函数在（0, 0）点可微, 且导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件.

4． 求下列函数的周期:

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）（2）由（3）

的周期是可知, 的周期

的周期

的周期是

. 故

的周期是

是有界变量, 当

或

时, x 是无穷小量, 所以

可见偏

; 同样因f （0, y ）=0, 得

.

的周期的周期是

4和6的最小公倍数是12, 故

5． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）:

（1）

（2）

, 由此可见,

由于（2）原式

【答案】（1）原式

三个量都非整数, 从而原式不可积.

由此可见

由于

三个量都非整数, 从而原式不可积.

6． 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:

（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）

由

由由

复合而成.

由

复合而成. 复合而成.

复合而成.

7． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

使得

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取

无界函数.

（3）设

8． 计算三重积分

显然,

则

得

并且

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在

故是上的

为上的无界函数

, 其中是由曲面与. 对积分

所围的区域.

采用“先二后一”的方

【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称, 所以法, 则有