2017年西安交通大学能源与动力工程学院818高等代数与线性代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
=（ ）.
使
因此A 与B 合同.
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等
C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
4． 设行列式
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 设
其中
为两个非零多项式且或
次，但
证明：存在多项式
而且这种表示法唯一.
次，则结论已对；
，得
将（3）代入（2）
次，可再用g 去除
从而可得（1）.
设另有
其中
，并移项，可得
（1）减（4）
由于
或为零，或次数
次数，故上式左端括号内的多项式必等于零，从而必
使
，设
【答案】先用g （x ）去除f （x ）
次，再用
，如此下去，由于f （:真：，）的次数逐次降低，
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