2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 2． 设
线性相关，所以线性相关，故选A.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是
的一个特解，所以选C.
是（ ）二次型.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B*
分别为A ，B 的伴随矩阵，
D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
二、分析计算题
6． 如果把实n 级对称矩阵按合同分类，即两个实n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
【答案】因为两个实n 级对称矩阵合同的充分必要条件是：它们的秩和正惯性指数相同. 而秩为r 的矩阵，其正惯性指数可能是所求类数为
7． 已知1，1，-1是3阶实对称矩阵A 的三个特征值，的特征向量.
（1）求A 的属于（2）求可逆矩阵P ，使【答案】（1）设必正交，则
解之，得
（2）取-1的特征向量为
故-1的全部特征向量是
令
则
故
共种可能. 而r 的可能为因此
是A 的属于
的特征向量.
为对角矩阵.
由A 实对称，属于其不同特征值的特征向量
的特征向量为