2017年西安工程大学理学院827高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
是（ ）二次型.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
秩
未知量个数，
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设 （1）证: （2）求N 的维数及一组基. 【答案】（1）显然零变换属于N , 即 是V 的线性变换组成的线性空间， 构成M 的子空间， 则 所以即N 是M 的子空间. 则 使 M 同构于矩阵空 间 因 为 （2）取V 的一组基，设 其中 设令 则有 记则DT=TD. 因此， 即 由M 与Pran 同构知 所以 又易知E , 线性无关，故 为N 的基，且 7． 设A 为顺序主子式都不是0的n 阶方阵. 证明：A 可唯一分解成A=FDS, 其中D 为可逆对角方阵，F 与S 分别为主对角线上元素全是1的下与上三角形方阵. 【答案】由上题知，A 可分解为可逆下、上三角形方阵B , C 之积. 于是
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