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一、选择题

1． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

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则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

3． 若

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

二、分析计算题

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6． n ×n 复方阵A 称为半单的，如果A 相似于对角形. 证明对n ×n 复方阵A 存在n ×n 复方阵B 及C 使得

（1）A=B+C；

（2）B 是半单的，C 是幂零的； （3）BC=CB.

【答案】A 可相似于若尔当形矩阵，即有可逆阵T 使

其中

而

令

它们满足

（1）B 相似对角阵，故是半单的. （2）（3）（4）完成了证明.

7． 证明：一个非零复数I 是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式

设使得

其中^是有理数

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皆幂零，故C 为幂零的. 与

都交换，故B 与C 是交换的.

【答案】先证充分性.