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一、证明题

1． 设D （x ）为狄利克雷函数

,

取

,

对

及

, 证明极限

不存在.

, 使得

不存在 ,

使得

一个是

【答案】方法一:利用柯西准则的否定形式.

, 由实数的稠密性知, 存在

, 从而

及无理数列

有理数, 一个是无理数, 于是有

方法二:利用归结原则的否定形式.

对 2． 设

证明:【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

当

存在

使当

时, 就有

时, 有

使当

. 时, 有

且在

附近有

, 存在趋于X 0的有理数列, 从而

不存在.

故

是无理数. 由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

3． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

4． 证明:若二元函数f 在点上连续.

【答案】由内成立, 由于

在U （P ）内有界, 设此邻域为

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,

且

的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）

存在M>0, 使

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在1

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其中

5． 设点集

存在

又且

其中

所以对任意的正数, 存在

故f 在U （P ）内连续.

与

在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为

平面中的

在E 上一致连续.

,

就有

存在

,

因此

故复合函数

在E 上一致连续.

使当

为D

上任意两个点. 由于在D 上一致连续

, 从而对任给的只要

当

时, 有

在D 上一致连续

, 证明:复合函数

【答案】设点

,

使对一切

在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有

二、解答题

6． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

7． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E , 则

（其中

利用球坐标变换计算）

的内部流过球面的流量.

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8． 将定义在

（1）（2）

上的函数, 延拓到R 上, 使延拓后的函数为（i ）奇函数; （ii ）偶函数. 设

【答案】设f , g 分别为奇函数和偶函数, 则

（1）将

分别作奇延拓和偶延拓, 得到

（2）设

为

在R 上的奇延拓, 则当

时,

当

对于奇函数

时, 必有

于是

所以

同理,

在R 上的偶延拓为

于是

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