2018年西北农林科技大学林学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账:每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率:
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X =所掷的轮数，则
，其中
所以
（1）第2轮确定由谁来付账的概率为
（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为
2． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以射炮？
【答案】设共需要n 门高射炮，记事件为“第i 门炮射击命中目标”，
，而
所以取n=13, 可以有
.
则
的把握击中飞机，需要几门高
=P （出现三个正面或出现三个反面）
（重新掷）
由此得，两边取对数解得的把
握击中飞机.
3． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取
【答案】只是这里的原假设和备择假设分别为
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，样本标准差s=2.6cm,
）？
拒绝域为，当取时，，检验统计量
u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.
4． 设数为
是来自均匀分布
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函
，其中与是两个已知的常数.
（1）验证:帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）要使
与
与的联合分布为同时成立，必须’
，所以的后验分布为
，
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
5． 设随机变量X 的分布律为
表
1
求
的分布律.
可取值为0、1、4、9, 则有
即Y 的概率分布如下
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【答案】由题意知,
表2
6． 进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为
【答案】
记
试问能以的把握保证1000次
且
试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？
为1000次试验中事件A 发生的次数，
则
设事件A 发生的频率与概率的差为k , 根据题意，可得如下不等式
或
利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得
由此得
查表得
从中解得
这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于
或者说，在1000次试验中事件A 发生的次数在次间，即在223次到277次间.
7． 设在区间上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
【答案】解法一:分别记此n 个点上的均匀分布
而
我们的目的是求
和
的密度函数分别为
又因为
所以
解法二:n 个点把区间
分成
段，它们的长度依次记为
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则相互独立，且都服从区间
因为此n 个点是