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一、计算题

1． 设

【答案】因为在离散场合，当值时，

时，

存在，试证:

是随机变量Y 的函数，记以概率

取

它仍是随机变量. 由于在Y 取固定

上式对Y 的任一取值都成立，即

一般场合有

2． 设为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

即

存在，所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

3． 考虑一元二次方程

【答案】按题意可知:率为

而

含有19个样本点，所以而

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也是常数，故有

在连续场合也有类似解释，所以在

，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，

，它含有36个等可能的样本点，所求的概

求该方程有实根的概率P 和有重根的概率q.

同理

含有两个样本点，所以

4． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7, 现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.

【答案】记事件A 为“目标被击中”，事件为“甲射中目标”，事件因为

所以

考虑到

，故有

5． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

【答案】记

为第颗骰子出现的点数，

分布列为

表

所以

由此得

6． 设连续随机变量X 的分布函数为

试求 （1）系数A ; （2）X 落在区间（3）X 的密度函数. 【答案】（1）由（2）

（3）X 的密度函数（如图1）为

的连续性，有

. ’

，由此解得A=l.

内的概率；

则

独立同分布，其共同的

，

为“乙射中目标”.

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图1

7． 已知

【答案】

求

8． 设某商店中每月销售某商品的数量X 服从参数为7的泊松分布. 问在月初应进货多少件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.

【答案】用k 表示在月初进货该商品的件数，则由题意知k 应满足如下不等式

查泊松分布表中数值知

故应在月初至少进10件，才能保证当月不脱销的概率不小于0.90.

二、证明题

9． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

10．设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为

先证充分性. 若

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是实的偶函数，则又因