2018年中央财经大学统计与数学学院806概率论与数理统计考研强化五套模拟题(1)
● 摘要
一、计算题
1． 设
是总体
的简单随机样本, 记
（1）证明T 是（2）当【答案】 （1） 故T 是（2）当
的无偏估计量.
时,
.
2． 设
是来自Rayleigh 分布
的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】 （1）样本的联合密度函数为
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的无偏估计量； 时, 求DT.
由因子分解定理知，的充分统计量是:（2）注意到
.
由此可见故对
是
的无偏估计. 当
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，当由此可得在原假设由等式
时，，或者
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以
c=21.887.
时，将拒绝原假设
，从而有
在原假设
成立下，有
这里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，
, 从而有
故由等式则有
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较大时，拒绝原假设是合理的.
确定. 为了确定c ，需要充分统计量
，
的分布.
利用分布的分位数可确定临界值C.
.
故由中心极限定理知
可得，记为标准正态分布的分位数，
即
若
查表得
从而
这个结果与（2）定出的精确值较为接近.
3． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差.
（1）（2）
【答案】（1）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为
又因为
所以
（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当所以当而当又因为
4． 从数字
时，有时，有时，有在
所以
处不可导，故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.
中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字，则
所以
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