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一、计算题

1． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）:

表

设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，试检验（

分别为其样本方差，则在原假设又

检验拒绝域为从而拒绝域为

，现由样本观测值可算得

从而检验统计量的值为于2

2． 设随机变量

【答案】从

成立下有

，故在原假设成立下，

，现取

. 查表知，）:的无偏估计为

， ，其中

为两个总体的共同方差，

. ，

分别为其样本均值，

【答案】以X ，y 分别表示老、新两种过程下的观测值，

表示

由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大

已知

和

求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6, p=0.4.

3． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m , 都有

【答案】由无记忆性知

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，则X 的分布一定是几何分布.

或

若把n 换成n —1仍有

上两式相减可得

若取n=m=l, 并设若取n=2，m=l，可得

若令

，则用数学归纳法可推得

这表明X 的分布就是几何分布.

4． 求下列亊件的概率:

（1）（2）

个人坐成环形, 求甲、乙、丙三个人坐在一起的概率; 个人并排坐, 求甲、乙、丙三个坐在一起的概率. 种,

当甲、乙、丙三人坐在一起时, 可将他们看作一个整体, 则共有坐法. 即

（2）若n 个人坐成一排, 则共有则共有

种坐法, 即

5． 甲、乙两选手进行乒兵球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6, 乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？

【答案】（1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜:

A 1=“甲胜前两局”，

A 2=“前两局甲乙各胜一局，第三局甲胜”，

所以得

（2）若采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜:

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，则有

【答案】（1）设事件A 表示“甲、乙、丙三人坐在一起”, n

个人坐成环形的坐法共有

种

种不同坐法, 仍将甲、乙、丙三人看作一个整体,

B 1=“前三局甲胜”，

=“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜”，

=“前四局甲乙各胜二局，第五局甲胜”， 所以得

所以五局三胜制对甲更有利.

6． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求:

（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；

（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.

【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-l+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为

（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，

此种样本点共有

，考虑到球不可辨故

（2）记

为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述:

种取法.

第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有

第二步，将n 个球放入余下的N-m 个盒中，且这N-m 个盒子中都要有球，这当然要求n ≥N-m （或m ≥N-n ），否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个球排成一行，随机抽取球与球之间的n-l 个间隔中的N-m-l 个间隔放火柴棒即可，这有

综合上述两步，所求概率为

（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j

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种可能.