2018年中央财经大学统计与数学学院806概率论与数理统计考研基础五套测试题(1)
● 摘要
一、计算题
1． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.
【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有种可能情况，这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为:“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是:第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有4x3x2种可能情况，所以
.
事件C 发生只有4种可能情况:3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以
又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得
将以上结果列表为
表
1
2． 若
试证
为从分布族
为充分统计量.
中抽取的简单样本，
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知，
为充分统计量.
3． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得
的差异小于
4． 设二维随机变量
从中解得
取
即可以
服从正态分布
记问至
的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式
的把握使平均值与实际值a
的联合密度函数为
求X 与Y 的相关系数.
【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差
.
最后可得X 与Y 的相关系数
5． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
. 由
得
，两边取对数解得
，所以取n=4, 即投掷4次可以保证至少一次出现
为“第i 次投掷时出现点数为6”，
点数为6的概率大于1/2.
6． 设二维随机变量成的三角形区域.
（1）求X 的概率密度（2）求条件概率密度【答案】 （1）
服从区域G 上的均匀分布, 其中G 是由
；
.
的概率密度为
与所围
X 的概率密度为
①当②当③当综上所述
（2）Y 的概率密度为
在
时, X 的条件概率密度为
7． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为连胜两局为止，求平均比赛局数.
【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2, 3, …等正整数值，事件局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以
公式，可得
或
时, 时,
时,
比赛进行到有一人
表示到第k-l