2018年中央财经大学统计与数学学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，
记
【答案】这是一个配对模型, 有即 2． 设指数分布
中未知参数的先验分布为伽玛分布
的均值和方差分别为
. 现从先验信息得知:先验均值由己知条件，可建立如下方
试证明:
所以由切比雪夫不等式，任对
为0.0002, 先验标准差为0.01，试确定先验分布.
【答案】由于伽玛分布程组
解之得
所以的先验分布为伽玛分布
.
3． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在异？并给出检验的p 值.
【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，
则
待检验问题为
由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到
其中
，于是，在
成立的条件下，近似有
下确认:男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差
其中
，将
的值代入，可算得
对显著性水平此处检验的p 值为
，
检验拒绝域为
，观测值落入拒绝域，故认为男女同学
在喜爱武侠小说方面有显著差异.
4． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
. 由
得
，两边取对数解得
，所以取n=4, 即投掷4次可以保证至少一次出现
点数为6的概率大于1/2.
5． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.
【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记
所以
与
的可能取值均为0, 1.
与
不相关. 所以只需证
表
与
是独立的. 记
的联合分布列
由X 与Y 不相关可得
的可能取值
为“第i 次投掷时出现点数为6”，
与各自的边际分布列如下表所示.
由此可
得
得:
将此代入联合分布列与边际分布列的关系式
由
与的不相关性可
即可得
即
与
独立，从而证得X 与Y 独立.
6． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0, 得到如下似然方程组
，（忽略常数项）将其分别对
求
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
7． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位:h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求:此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
，其中
相关内容
相关标签