2018年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1．
求方程
【答案】
通过点的第二次近似解.
所以，
方程
通过点
的第二次近似解为
2．
给定微分方程组
其中f （x ，y ）有连续一阶偏导数. 试证明在原点邻域内如f>0则零解为渐近稳定的，而f<0则零解不稳定.
【答案】
取
则
所以在原点邻域内如果
定的.
3．
试用形如
（1
）
（2
）则零解是渐近稳定的，
而时，则零解是不稳的李雅普诺夫函数确定下列方程组零解的稳定性：
（3
）
（4
）
【答案】
⑴取
则
所以方程组的零解是稳定的.
（2
）取，
则
所以给定方程组的零解是渐近稳定的.
（3
）取
则
所以给定方程组的零解是渐近稳定的.
（4
）取
则
所以给定方程组的零解是不稳定的.
4． 推导用双曲函数表示
，
【答案】
从可解）. 即，
只需要求解的精确解（6.68）. 两边开平方可得变形该方程，
得到
不妨取正号（取负号时，同理
下面求解不定积分
令
即
则
从而
注意到
，
故
因此，
由①式两边同时积分可得
即
这里是积分常数. 解出C0SX ，
则有
两边平方得到
注意到
则有
解之得
将代入上式，则得到公式（6.68）.
其中5． 火车沿水平的道路运动. 火车的质量是P ，机车的牵引力是F ,
运动时的阻力
a ，b 是常数，而V 是火车的速度；S 是走过的路程. 试确定火车的运动规律，设t=0
时
【答案】根据牛顿运动定律，设路程S 是时间的函数，
记作
是加速度函数，
并且火车运动满足的微分方程
则
而
满足的初值条件是
对方程施行拉普拉斯变换得
由此，得
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