2018年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 试通过计算平衡点和线性奇点性态求下列平面单参数微分方程的λ的分支值，并画图验证（令
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】
⑴令
则有）
显然平衡点为（0, 0）. 对应于（0, 0
）处的线性系统
的特征方程为
1确定，
即得
（2
）令
或
则原方程等价于方程组所以微分方程的分支值由判别式
显然平衡点为（0, 0）, 对应于（0, 0
）处的线性系统
的特征方程为
微分方程的分支值由判别式1-4λ=0确定，
即得
（3
）令
则原方程等价于方程组
显然平衡点为
对应于
处的线性系统
的特征方程为
对应于
处的线性系统
微分方程的分支值由判别式确定，
即得
的特征方程为
无实数解，说明此时没有分支值.
另外，
当
支值.
综上，
原方程的分支值为
和微分方程的分支值由判别式时，有惟一平衡点（0, 0），
当时无平衡点，
所以确定，显然此方程也是原方程的分
2． 假设m 不是矩阵A 的特征值.
试证非齐次线性微分方程组
有一解形如
其中c ，p 是常数向量.
【答案】
假设
因为m 不是矩阵A 的特征值，
所以方程组
存在惟一的解
.
上面方程组等价于
即
所以方程有一解形如
3．
设
证：是方程
时，
能够选择常数的解，其中k 为常数，
函数
的值，使得
于连续，试（1）
当
（2）
当时，方程的通解可表为
其中
（1）
当
的方程组为任意常数. 的通解为的解，
代入方程，
则得到决定
时，
利用常数变易法求方程【答案】齐次方程
，
设方程的一个特解为
解之，
得
即得到方程的通解为
又由已知
使得
是方程的解，
所以一定能够选择常数的值，
化简上式右端即得
（2）
当时，
原方程变为
而齐次方程
的通解为
利用常数变易法求非齐次方程
代入方程则得到决定
的一个特解，
设方程的一个特解为
的代数方程组
解之，
得
所以原方程的通解为 化简即得
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