2018年陕西科技大学电气与信息工程学院818线性代数及常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
试验证方程
有基本解组
并求方程
的通解.
【答案】（1
）将
分别代入方程左端得
又常数，
因此是方程的基本解组.
（2）用常数变易法，
令方程的特解为
则
满足代数方程组
由此得
所以
取得方程一特解为
-
因而方程的通解为
2．
试求方程组
满足初始条件
【答案】
令
对方程组进行拉普拉斯变换，可得的解，并求出它的基本解矩阵.
即
由上面方程组解出
有
的解
的解取拉普拉斯变换逆变换，
得满足初始条件
为了寻求基本解矩阵，
再求满足初始条件
同理，
可得
其解为
所以，
基本解矩阵为
3．
求非线性微分方程组
在原点处的线性近似方程组。
【答案】
根据
和的泰勒展开式，
可得方程组
的线性近似微分方程组为
4．
给定微分方程组
（1
）给出微分方程组平衡状态的定义；
（2
）给出平衡状态稳定的定义；
（3
）给出平衡状态
当渐近稳定的定义. 【答案】（1
）微分方程组平衡状态的定义：时
，波称为系统的平衡状态.
（2
）平衡状态稳定的定义：
如果对任意实数
程组
都存在实数
确定的解
使得当
满足均有
时，方
的由初值条件
则称
如果
（1
）方程组
（2
）存在这样的
（3
）平衡状态渐近稳定的定义：对于一切在
是李雅普诺夫意义下稳定的. 的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的；使当时，
满足初值条件
的解
均有
则称平衡状态是渐进稳定的.
5． 证明方程M （x ，y ）dx+N（x ，y ）dy=0
具有形状
并求出这个积分因子.
【答案】
在积分因子的充要条件
中，
令
则有
的积分因子的充要条件是
这就证明了
为积分因子的充要条件是
此时积分因子
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