2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 试决
【答案】
令当当当由
, 得
。
时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在
上是凹的; 上是凹的,
中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。
时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;
从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。
知过点（一1, 4k ）的法线方程为
要使该法线过原点, 则（0, 0）应满足这方程, 将x=0, y=0代入上式, 得
2． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
为球心，以
为半径的球面.
3． 求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.
，关于yOz 面的对称点是（﹣【答案】（l ）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点为（a ，b ，﹣c ）a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，﹣b ，c ）
，关于y 轴的对称点是（﹣a ，b ，（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点是（a ，﹣b ，﹣c ），关于z 轴的对称点是（﹣a ，﹣b ，c ）﹣c ）·
（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（﹣a ，﹣b ，﹣c ）.
4． 求函数
【答案】函数的定义域为因为点
的定义域，并求。
，f （x ，y ）为初等函数，所以
5． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在 6． 已知
【答案】因为
于是
7． 设函数y=y（x ）由方程
，求当
时，
的值。
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
所确定，求y ’’（0）。
， （1）
（2）
【答案】把方程两边分别对x 求导，得将x=0代入
得y=1，再将x=0，y=1代入（1）式得
在（1）式两边分别关于x 再求导，可得将
代入（2）式，得
。
8． 求下列向量场A 沿闭曲线（从x 轴正向看依逆时针方向）的环流量：
（1）（2）
【答案】（1）的参数方程为
，为圆周（c 为常量）
，其中为圆周
；
。
t 从0变到2π，于是所求环流量为
（2）是xOy 面上的圆周
，
它的参数方程为（从z 轴正向看依逆时针方向）
t 从0变到2π，于是所求的环流量为
故得
9． 求函数数。
【答案】先求切线斜率：在
两端分别对X 求导，得
在点
处沿曲线
在这点的内法线方向的方向导
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